Quando si parla di automatizzazione si fa spesso l’esempio della guida dell’automobile. Durante i mesi della scuola guida, la nostra attenzione è tutta rivolta alle operazioni necessarie per guidare in modo corretto: frizione, freno, marcia, specchietto. Col passare del tempo, però, la guida diventa sempre più automatica ed è possibile fare altro, come ad esempio ascoltare la radio o chi ci sta accanto. Semplificando un po’ le cose, il nostro cervello è in grado di trasformare queste azioni in procedure che possono essere eseguite senza un eccessivo controllo attentivo (a meno che un evento esterno non costringa a operare delle variazioni). Quando le procedure sono del tutto automatiche si verifica addirittura un fenomeno di interferenza con la loro formulazione esplicita: in parole povere, spiegare come si va in bicicletta mentre si va in bicicletta può portare a un peggioramento della performance.

A cosa serve automatizzare? Fondamentalmente a liberare risorse di attenzione e memoria. Il nostro cervello, pur essendo un organo prodigioso, ha comunque dei limiti di spazio e di elaborazione, dunque ha bisogno di trovare delle strategie per ottimizzare le risorse a sua disposizione. Questo avviene, in condizioni di adeguata scolarizzazione e in assenza di deficit più o meno specifici, anche nella lettura e nel calcolo. Vediamo il caso delle tabelline.

Tutti noi abbiamo imparato la matematica a partire dal conteggio. Da piccoli, abbiamo imparato a rispondere a domande come:

Quanto fa 3 + 3?

individuando tre dita nella mano e aggiungendo un dito per volta fino ad arrivare a 6. Ad un certo punto, abbiamo smesso di contare e abbiamo imparato a dare la risposta automatica. Quindi, non più 3+1+1+1 = 6 ma 3+3 = 6.

In parole povere il nostro cervello ha detto: poiché questa operazione viene eseguita molte volte, anziché rifare il calcolo ogni volta, mi conviene “sacrificare” un piccolo spazio in memoria per immagazzinare direttamente il risultato.

Vediamo quanto abbiamo risparmiato con questa operazione. Proviamo a fare 3+1+1+1 senza il supporto delle dita. Dobbiamo tenere a mente il numero iniziale, la somma fra il 3 e il primo numero (1), il risultato (4), poi dobbiamo aggiungere al risultato un altro 1 e ottenere 5, poi dobbiamo aggiungere al 5 un altro 1. In tutto questo dobbiamo ricordarci quanti 1 abbiamo aggiunto:

Dopo aver eseguito questa operazione più e più volte, il cervello trova più efficiente memorizzare direttamente il risultato. In questo modo non dovrà più eseguire 3+1+1+1, ma andare a cercare quel punto della memoria in cui ha memorizzato il risultato di 3+3. Purtroppo, anche le capacità di memorizzazione sono limitate, dunque è impossibile memorizzare i risultati di tutte le operazioni. Tuttavia, tenere a mente quelli che nel gergo vengono chiamati fatti aritmetici (tabelline e piccole somme e sottrazioni) è già sufficiente per liberare molte risorse in memoria e svolgere operazioni più complesse come somme e moltiplicazioni a due cifre.

In assenza di automatizzazione, nel caso delle tabelline, le risorse impiegate possono diventare troppe. Poniamo il caso della moltiplicazione 9×4 in assenza della minima capacità di automatizzazione:

In assenza di automatizzazione saremmo costretti a tenere a mente tutti i risultati parziali, il numero di volte che abbiamo aggiunto 1 (numeri blu) e il numero di volte che abbiamo aggiunto i 9 (numeri rossi). Questo si tradurrebbe non solo in un maggiore affaticamento, ma anche in una maggiore possibilità di errore.

Anche chi si affida al recupero diretto può sbagliare (ad esempio, la sua “tabella” può aver mal memorizzato il risultato della moltiplicazione), ma il numero di operazioni che vengono svolte da chi non ha automatizzato il calcolo (immagine di sinistra) può portare a più errori e di diverso tipo, ad esempio si può perdere il conto delle volte in cui è stato eseguito il conteggio e fare un errore a catena (ad esempio, ripetendo la tabellina del 6, un bambino può dire 6,12,19,25,31… eccetera), oppure si può perdere il conto del numero di volte per le quali dobbiamo ripetere l’operazione (quindi, nel caso di 9×4, confonderci e fare solo 9×3).

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Anche se alla fine si risparmia tempo e fatica, all’inizio memorizzare 100 risultati diversi non è un compito così facile. Per fortuna, nella realtà, tra l’immagine di sinistra e l’immagine di destra ci sono numerose vie di mezzo. Non siamo costretti, infatti, a ricordare a memoria tutti i risultati della tavola pitagorica ma molti meno grazie ad alcune strategie. Innanzitutto, è possibile dimezzare il numero di tabelline da imparare invertendo i fattori (per esempio, posso trasformare 8×5 in 5×8 dato che la tabellina del 5 è più facile di quella dell’8); si può poi scomporre ogni tabellina che coinvolge i numeri pari (ad esempio, 4×9 può essere scomposto in 2×9 da raddoppiare), così come ogni numero moltiplicato per nove può essere trasformato in quel numero per 10 meno il numero stesso (8×9 = 8×10-8).

Queste strategie non sono utilizzate solo per compensare le difficoltà. Prima dell’invenzione dei calcolatori elettronici, infatti, usare dei numeri noti come “appoggio” serviva a velocizzare dei calcoli molto complessi:

A Los Alamos avevo scoperto che Hans Bethe era un campione del calcolo a mente. Una volta stavamo sostituendo dei valori numerici in una formula e siamo capitati sul quadrato di 48. Mentre tiravo fuori la calcolatrice, Bethe disse «2300», e stavo ancora pigiando sui tasti quando aggiunse: «2304 per la precisione.»
La macchina ha dato 2304. «Accidenti! Davvero notevole», dissi.
«Ma come? Non sa calcolare i quadrati dei numeri vicini a 50? Basta fare il quadrato di 50 – cioè 2500 – e sottrarre 100 volte la differenza con 50 (in questo caso 2), e fa 2300. Per maggior precisione, basta aggiungere a questo risultato il quadrato della differenza.»

Poco dopo, ci serviva la radice cubica di due e mezzo. Per estrarre una radice cubica con la calcolatrice Marchant, occorreva usare per una prima approssimazione una tavola di valori numerici. Fui costretto ad aprire il cassetto per prendere la tabella. Bethe aveva qualche secondo di vantaggio, e disse: «Fa circa 1,35»
Provai con la Marchant, era giusto. «Come ha fatto, questa volta? Ha un segreto per estrarre radici cubiche?»
«Ma no», rispose. «Il log di 2,5 è tot, un terzo di questo log è compreso tra i logaritmi di 1,3 e 1,4. Per interpolazione ne concludo che fa 1,35.»

Avevo quindi scoperto che: primo, conosceva la tavola dei logaritmi a memoria; e secondo, i calcoli aritmetici che aveva fatto a mente per la sola interpolazione mi avrebbero richiesto più tempo che cercar la tabella e schiacciare i tasti della calcolatrice. Rimasi impressionato.

tratto da R. Feynman, Sta scherzando, mr. Feynman?

In generale, come abbiamo ricordato nell’articolo “Perché ostinarsi a memorizzare le tabelline non serve”,  l’uomo non è una macchina e non può avere la stessa precisione di un computer nel recuperare le informazioni in memoria e nell’eseguire calcoli. Per questo è necessario che la memorizzazzione non sia un fatto puramente mnemonico, ma che sia accompagnata anche da strategie di controllo che derivano dalla consapevolezza numerica (ad esempio, banalmente, se dovessi per sbaglio recuperare male 9×2=17, la mia consapevolezza numerica mi segnalerebbe che un numero moltiplicato per 2 non può essere dispari. Allo stesso modo, so che moltiplicando 4 per un numero inferiore a 10 non potrò mai avere un numero più alto di 40).

Per diventare più rapidi e accurati nel calcolo a mente (e stancarsi di meno), è necessario automatizzare le tabelline ma, al tempo stesso cercare di potenziare il senso del numero. Nel caso in cui, tuttavia, dovesse essere riscontrato un deficit dell’automatizzazione e della consapevolezza numerica (come avviene nella discalculia), sarà necessario fornire allo studente dei supporti esterni che possano compensare la mancata automatizzazione, ad esempio formulari, tavole pitagoriche e calcolatrice.

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